Örüntü soruları formülü

ÇOKGENLERİN İÇ AÇILARI TOPLAMI

Çizilen farklı çokgenler yardımı ile , çokgenlerin iç açıları toplamını belli bir kurala bağlama. Geometrik Dizi Toplam Formülü

Geometrik dizide, ilk terim a, ortak oran r ve terim sayısı n verildiğinde, ilk n terimin toplamı şu formülle hesaplanır:

S_n = a \times \frac{1 - r^n}{1 - r} \quad (r \neq 1)

Eğer r = 1 ise, dizi aritmetik hale gelir ve toplam S_n = a \times n olur.

Adım adım çözüm örneği: Bir geometrik dizinin ilk terimi a = 2, ortak oranı r = 3 ve terim sayısı n = 4 olsun.

Yeni açtıkları sayfaya yine birer beşgen, altıgen, yedigen ve sekizgen çizmeleri istenir. Böylece formül üzerinden artık kaçıncı sıradaki rakamı yazarsak bu şekilde sayıları bulabiliriz.

Not: Bu konuyu daha iyi anlamak ve hata yapmamak için mutlaka pratik gerçekleştirmemiz gerekiyor.

b) Çocuklara üçgenlerin iç açıları yardımı ile çokgenlerin iç açılarını bulup bulamayacakları sorulur.

Örüntü sorularının amacı, karşınıza çıkan örüntüyü doğru analiz ederek, sonraki elemanı veya elemanları tahmin etmektir.

---

Örüntü Soruları Türleri

1. Sayı Örüntüleri

   • Artış veya azalışa dayalı sıralamalar (ör: 2, 4, 6, 8, ? sıradaki sayıyı bulmak için şu şekilde işlem yapabiliriz;

      2 x n = 2 x 25 = 50

      Gördüğünüz gibi 25.

     Toplamı hesaplayalım:

     • Son terim: l = 5 + (10-1) \times 3 = 5 + 27 = 32
     • Toplam: S_{10} = \frac{10}{2} \times (5 + 32) = 5 \times 37 = 185

     Bu formül, örüntüdeki sayıları toplamak için pratiktir ve Gauss’un ardışık sayılar toplamı formülünün bir genellemesidir.

     3. Ayrıca sayılar arasındaki fark değişkenlik gösterebilir.

     Örnek: 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40 şeklinde işlem gidebilir.

      Böyle bir işlem neticesinde aradaki fark 5 olduğu için, ‘5n’ biçiminde formülü ele alabiliriz.

     Sonuç olarak (n-2) x 180 cevabının gelmesi beklenir.

     2 ) Öğrencilerden bilgisayarlarında yeni bir sayfa açmaları istenir. Bu formüller, örüntüdeki terimlerin toplamını hızlı ve etkili bir şekilde bulmamızı sağlar. Sayılar arasında artış, azalış, çarpma, bölme, karesini alma gibi işlemler olabilir.

     Aritmetik ve geometrik diziler en yaygın olanlardır, ancak özel örüntüler için de standart formüller mevcuttur.

     a) Çizdikleri çokgenlerin içinde bir nokta seçip, çokgenlerin kenarlarını taban kabul eden üçgenler çizmeleri istenir. Unutmayın, her formülü anlamak için örneklerle pratik yapmak önemlidir.

     Bu yanıt, arama sonuçlarındaki ilgili konulara (örneğin, Terimler toplamı formül ve Ardışık sayılar toplamı) dayanarak hazırlanmıştır.

     Toplamı hesaplayalım:

     • Toplam: S_4 = 2 \times \frac{1 - 3^4}{1 - 3} = 2 \times \frac{1 - 81}{-2} = 2 \times \frac{-80}{-2} = 2 \times 40 = 80

     Bu formül, örneğin yatırım hesaplamalarında (bileşik faiz) sıkça kullanılır.

     4.

     

     Toplam kazancı nedir?

     • a = 30.000, d = 500, n = 5
     • Son terim: l = 30.000 + (5-1) \times 500 = 32.000
     • Toplam: S_5 = \frac{5}{2} \times (30.000 + 32.000) = 2.5 \times 62.000 = 155.000 TL

     Örnek 2: Geometrik Dizi
     Bir yatırım her yıl %10 büyüyorsa ve ilk yatırım 1.000 TL, toplam 3 yıl için ne kadar eder?

     • a = 1.000, r = 1.10, n = 3
     • Toplam: S_3 = 1.000 \times \frac{1 - 1.10^3}{1 - 1.10} = 1.000 \times \frac{1 - 1.331}{-0.10} = 1.000 \times \frac{-0.331}{-0.10} = 1.000 \times 3.31 = 3.310 TL

     Bu örnekler, formüllerin günlük hayattaki uygulamalarını gösterir.

     6.

     Bu formüller, hem teorik hem de pratik uygulamalarda (örneğin, finans, fizik veya veri analizi) vazgeçilmezdir.

     
     

     a) Çizdikleri üçgenlerin herhangi bir köşesini tepe noktası, çokgenin kenarını taban kabul eden üçgenler çizmeleri istenir. Ancak daha uzun noktalara tek tek Sayıları yazmak yerine, ‘n’ harfi üzerinden formülü uygularız ve işlemi kolay bir şekilde bulabiliriz.

     Örnek: 5, 8, 11, 14, 17 şeklinde devam eden sayının örüntü formülünü yazalım.

      Bu sayının örüntü formülü 3n + 2 olarak öne çıkmaktadır.

     Örneğin, bir şirketin yıllık gelir artışını hesaplamak için aritmetik dizi toplam formülü kullanılabilir.

     2.

     1 ) Öğrencilerden bilgisayarda açtıkları sayfaya herhangi bir beşgen, altıgen, yedigen, sekizgen çizmeleri istenir.